Question

已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．记a_n=f（

1

n2+5n+5

），n∈N^*，则在数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₈的值为（　　）

• A、f（

  1

  2

  ）
• B、f（

  1

  3

  ）
• C、f（

  1

  4

  ）
• D、f（

  1

  5

  ）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题

分析：根据f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．得a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），再用裂项相消法求“a₁+a₂+…a₈”

解答： 解：f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），
∴a₁+a₂+…a₈=f（

1

3

）-f（

1

4

）+f（

1

4

）-f（

1

5

）+…f（

1

10

）-f（

1

11

）
=f（

1

3

）-f（

1

11

）
=f（

1

4

）．
故选：C．

点评：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分拆为：a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），