Question

5．已知直线l过抛物线C：x²=4y的焦点且斜率为$\frac{3}{4}$，则直线l与曲线C所围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{65}{8}$
• B． $\frac{33}{8}$
• C． $\frac{125}{24}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先求出直线方程，再求出直线和曲线的交点，利用定积分的几何意义求区域面积．

解答 解：抛物线C：x²=4y，即交点坐标为（0，1），
所以直线l的方程为y-1=$\frac{3}{4}$x，即y=$\frac{3}{4}x$+1，代入到x²=4y，解得x=-1，或x=4，
所以直线l与抛物线C所围成的面积S=${∫}_{-1}^{4}$（$\frac{3}{4}x$+1-$\frac{1}{4}$x²）dx=（$\frac{3}{8}$x²+x-$\frac{1}{12}$x³）|${\;}_{-1}^{4}$=（6+4-$\frac{16}{3}$）-（$\frac{3}{8}$-1+$\frac{1}{12}$）=$\frac{125}{24}$．
故选：C．

点评 本题主要考查积分的几何意义，联立曲线方程求出积分的上限和下限是解决本题的关键，比较基础．