Question

19．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{x}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0）若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[$\frac{7}{3}$，5]．

Answer 1

分析 由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{x}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，
∴f（x）∈[0，$\frac{1}{3}$]；
∵g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0），当x₂∈[0，1]时，
∴acos$\frac{πx}{2}$∈[0，a]
∴g（x）∈[5-2a，5-a]
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[5-2a，5-a]∩[0，$\frac{1}{3}$]≠∅，
∴只需排除[5-2a，5-a]∩[0，$\frac{1}{3}$]=∅的情况，
即5-2a＞$\frac{1}{3}$，或5-a＜0，得a＜$\frac{7}{3}$或a＞5
∴a的取值范围是[$\frac{7}{3}$，5]．

点评 本题考查存在性问题，以及求函数值域问题．