Question

9．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是首项和公比为2的等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$，得：$2{S_{n+1}}=a_{_{n+1}}^2+{a_{n+1}}$，从而得到a_n+1-a_n=1，再求出a₁=1，由此能求出a_n=n．
（2）求出${b_n}={2^n}$，从而a_nb_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（1）由$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$，①
得：$2{S}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{\;}$，②
②-①，得：$2{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n+1}-{a}_{n}$，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵数列{a_n}中各项均为正数，∴a_n+1-a_n=1，
n=1时，$2{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，解得a₁=1，
∴数列{a_n]是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵数列{b_n}是首项和公比为2的等比数列，∴${b_n}={2^n}$，
∴a_nb_n=n•2ⁿ，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和：
${T_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}$，
$2{T_n}={2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=-（n-1）•{2^{n+1}}-2$
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．