Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，且PA=PC=2．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，D为PC的中点，求异面直线PA与BD所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC的中点E，连接PE、BE，由已知得PE⊥AC，BE⊥AC，从而AC⊥平面PEB，由此能证明AC⊥PB．
（2）连接DE，DE是△PAC的中位线，从而∠BDE为PA与BD所成的角，由此能求出PA与BD所成的角为60°．

解答： （1）证明：取AC的中点E，连接PE、BE，
∵PA=PC，∴PE⊥AC，
∵ABC是等边三角形，∴BE⊥AC，
∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PEB
∵PB?平面PEB，∴AC⊥PB．
（2）解：连接DE，
∵D是PC的中点，E是AC的中点
∴DE是△PAC的中位线
∴DE=

1

2

PA=1，DE∥PA，
∴∠BDE为PA与BD所成的角，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BE?平面ABC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAC，
∵DE?平面PAC，∴BE⊥DE，
∵AE=1，AB=2，∴BE=

3

，
∴tan∠BDC=

BE

DE

=

3

，∴∠BDC=60°，
∴PA与BD所成的角为60°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中位档，解题时要注意空间思维能力的培养．