Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A₁为原点，A₁C₁为x轴，A₁B₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量

A1B

=（0，2，2）和平面ADC₁的法向量，由

n

•

A1B

=0，且A₁B?平面ADC₁，能证明A₁B∥平面ADC₁．
（2）分别求出平面BB₁C₁C的法向量和平面ADC₁的法向量，由两个平面的法向量的数量积为0，能证明平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

解答： （1）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
∴以A₁为原点，A₁C₁为x轴，A₁B₁为y轴，A₁A为z轴，
建立空间直角坐标系，设AB=AC=AA₁=2，
A₁（0，0，0），B（0，2，2），A（0，0，2），
C（2，0，2），D（1，1，2），C₁（2，0，0），

A1B

=（0，2，2），

AD

=（1，1，0），

AC1

=（2，0，-2），
设平面ADC₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AD =x+y=0 n • AC1 =2x-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
∵

n

•

A1B

=0-2+2=0，且A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）证明：∵

DC

=（1，-1，0），

DC1

=（1，-1，-2），
设平面BB₁C₁C的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • DC =a-b=0 m • DC1 =a-b-2c=0

，取a=1，得

m

=（1，1，0），
又平面ADC₁的法向量

n

=（1，-1，1），

n

•

m

=1-1+0=0，
∴平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．