Question

已知点P是双曲线

x2

4

-y²=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则

PA

•

PB

=（　　）

• A、-

  12

  25

• B、

  12

  25

• C、-

  24

  25

• D、-

  4

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），则

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．

解答： 解：设P（m，n），则

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，
由双曲线

x2

4

-y²=1的渐近线方程为y=±

1

2

x，
则由

y= 1 2 x y-n=-2(x-m)

解得交点A（

4m+2n

5

，

2m+n

5

）；
由

y=- 1 2 x y-n=2(x-m)

解得交点B（

4m-2n

5

，

n-2m

5

）．

PA

=（

2n-m

5

，

2m-4n

5

），

PB

=（

-m-2n

5

，

-2m-4n

5

），
则有

PA

•

PB

=

2n-m

5

•

-m-2n

5

+

2m-4n

5

•

-2m-4n

5

=

m2-4n2

25

+

4(4n2-m2)

25

=-

3

25

（m²-4n²）=-

3

25

×4=-

12

25

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．