Question

已知g（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求g（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式

2x-m

g(x)

＞x成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断知，当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值；
（Ⅱ）依题意可得2x-m＞x（e^x-x），整理得m＜-x（e^x-x-2），令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），利用导数法可求得h（x）_max，从而可得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）=e^x-x在区间（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减；
∴当x=0时，g（x）在x=0时取得极小值，也是最小值，即g（x）_min=g（0）=1．
（Ⅱ）∵g（x）≥1，∴

2x-m

g(x)

＞x?2x-m＞x（e^x-x），
∴m＜-x（e^x-x-2），
令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），
则h′（x）=-（e^x-x-2）-x（e^x-1）=（x+1）（2-e^x），
当0＜x＜ln2时，h′（x）＞0；当x＞ln2时，h′（x）＜0；
∴当x=ln2时，h（x）取得极大值，也是最大值，为h（ln2）=-ln2（e^ln2-ln2-2）=ln²2．
∴m＜ln²2．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．