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已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距离的差的绝对值为2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求直线l的方程.
(Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点P的轨迹为双曲线,
其中a=1,c=
3
,则b=
c2-a2
=
2

所以动点P的轨迹方程C:x2-
y2
2
=1

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组
x2-
y2
2
=1
y=kx-2
得(2-k2)x2+4kx-6=0.
因为直线l与曲线C交于A,B两点,
所以
2-k2≠0
△=(4k)2-4×(2-k2)×(-6)>0

-
6
<k<
6
k≠±
2
.(*)
由根与系数关系得x1+x2=
-4k
2-k2
x1x2=
-6
2-k2

因为y1=kx1-2,y2=kx2-2,
所以y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4
因为OA⊥OB,所以
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,
所以(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0,
所以(1+k2)•
-6
2-k2
-2k•
-4k
2-k2
+4=0

即k2=1,解得k=±1,由(*)式知k=±1符合题意.
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2,且过点(
2
6
2
)

(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1
有相同焦点F1和F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点,△ABF2的周长为8
3
.若直线y=t(t>0)与椭圆C交于不同的两点E、F,以线段EF为直径作圆M.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若圆M与x轴相切,求圆M被直线x-
3
y+1=0
截得的线段长.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,|
F1F2
|=2
,离心率e=
1
2
,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l的倾斜角为
π
4
,求线段MN中点的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线方程为y2=8x.直线l1过抛物线的焦点F,且倾斜角为45°,直线l1与抛物线相交于C、D两点,O为原点.
(1)写出直线l1方程
(2)求CD的长度.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设a、b是非零实数,则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点P(-1,
3
2
)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足
PA
+
PB
PO
(0<λ<4,且λ≠2)求直线AB的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

以椭圆
x2
16
+
y2
4
=1
内的点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与抛物线C2:x2=2py(p>0)的一个交点为M.抛物线C2在点M处的切线过椭圆C1的右焦点F.
(1)若M(2,
2
5
5
)
,求C1和C2的标准方程;
(II)若b=1,求p关于a的函数表达式p=f(a).

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