Question

15．已知函数$f（x）=\frac{x^2}{2}+b{e^x}$有两个极值点x₁，x₂，其中b为常数，e为自然对数的底数．
（1）求实数b的取值范围；
（2）证明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为关于x的方程$-b=\frac{x}{e^x}$有两个不同的解，令$g（x）=\frac{x}{e^x}$，则$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，根据函数的单调性求出b的范围即可；
（2）问题转化为g（x₂）-g（2-x₂）＞0，即${e^2}{x_2}-{e^{2{x_2}}}（{2-{x_2}}）＞0$，令h（t）=e²t-e^2t（2-t），根据函数的单调性得到h（t）＞0，从而证出结论．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x+be^x．
因为函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，所以f'（x）=x+be^x有两个变号零点，
故关于x的方程$-b=\frac{x}{e^x}$有两个不同的解，
令$g（x）=\frac{x}{e^x}$，则$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
当x∈（-∞，1）时g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，
所以函数$g（x）=\frac{x}{e^x}$在区间（-∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
又当x→-∞时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→0，且$g（1）=\frac{1}{e}$，
故$0＜-b＜\frac{1}{e}$，所以$-\frac{1}{e}＜b＜0$．
（2）不妨设x₁＜x₂，由（1）可知，x₁＜1＜x₂，所以x₁，2-x₂∈（-∞，1），
因为函数$g（x）=\frac{x}{e^x}$在区间（-∞，1）上单调递增，
若x₁+x₂＞2即x₁＞2-x₂时，g（x₁）＞g（2-x₂）即g（x₁）-g（2-x₂）＞0．
又g（x₁）=g（x₂），所以g（x₁）-g（2-x₂）＞0可化为g（x₂）-g（2-x₂）＞0，
即$\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}＞0$即${e^2}{x_2}-{e^{2{x_2}}}（{2-{x_2}}）＞0$，
令h（t）=e²t-e^2t（2-t），则h（1）=0，h'（t）=e²-e^2t（3-2t），
令φ（t）=h'（t），则φ（1）=0，φ'（t）=4e^2t（t-1），
当t＞1时，φ'（t）＞0，所以h'（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则h'（t）＞h'（1）=0，
所以h（t）在区间（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）=0．证毕．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．