Question

5．若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[-1，1]，使得m+x²e^x-a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． $（{1+\frac{1}{e}，e}]$
• C． （0，e]
• D． $[{1+\frac{1}{e}，e}]$

Answer 1

分析 由m+x²e^x-a=0成立，解得x²e^x=a-m，根据题意可得：a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且验证等号是否成立即可得出．

解答 解：由m+x²e^x-a=0成立，得x²e^x=a-m，
∴对任意的m∈[0，1]，总存在唯一的x∈[-1，1]，使得m+x²e^x-a=0成立，
∴a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得1+$\frac{1}{e}$≤a≤e，
其中a=1+$\frac{1}{e}$时，x存在两个不同的实数，因此舍去，
a的取值范围是（1+$\frac{1}{e}$，e]．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．