Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=$\frac{2π}{3}$，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC²=3，满足AB²=AC²+BC²，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；
（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$，此时点M与点F重合．

解答 （1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，
又∵$∠BCD=\frac{2π}{3}$，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3．
∴AB²=AC²+BC²．则BC⊥AC．
∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF．
∵EF∥AC，
∴EF⊥平面BCF；
（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），
则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ λx-y+z=0\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}=\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵$0≤λ≤\sqrt{3}$，∴当λ=0时，cosθ有最小值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．