Question

【题目】如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）在中，根据余弦定理，可得，所以，即是直角三角形，又为的中点，所以为等边三角形，根据线面平行的判定定理即可证明。

（2）以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建系，求出，平面

法向量的坐标，计算与法向量的夹角，可得所求。

（1）平面平面，平面平面，平面平面

则平面，

又，则

因为，，，

所以，，

在中，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又为的中点，所以

又，所以为等边三角形，

所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知，以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，.

设为平面的法向量，则，即

设，则，，即平面的一个法向量为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.