Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为上的一点， 平面 ；

（1）求证：为的中点;

（2）求证：

（3）设二面角为60°，，，求长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接BD交AC于O，连接EO．由线面平行的性质可得PB∥OE，故而得出E为PD的中点；

（2）证明CD⊥平面PAD,则可得出CD⊥AE；

（3）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出AB的长．

（1）连交于点，连结，

因为平面，PB平面PBD，平面平面，

∴，

∵为中点，∴为中点.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

又PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD．

∴CD⊥AE．

（3）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，

设AB＝a，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），

∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），

显然（1，0，0）为平面AED的一个法向量，

设平面ACE的法向量为（x，y，z），则，即，

令z得（，﹣1，），

∵二面角D﹣AE﹣C为60°，

∴|cos|＝||，

解得a，即AB．