Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：面积为定值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.

（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，

利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.

（1）解：因为的离心率为，

所以，

解得.①

将点代入，整理得.②

联立①②，得，，

故椭圆的标准方程为.

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，

点为或，由对称性不妨取，

由（1）知椭圆的方程为，所以有.

将代入椭圆的方程得，

所以 .

②当直线的斜率存在时，设其方程为，

将代入椭圆的方程

得，

由题意得，

整理得.

将代入椭圆的方程，

得.

设，，

则，，

所以 .

设，，，则可得，.

因为，所以，

解得（舍去），

所以，从而.

又因为点到直线的距离为，

所以点到直线的距离为，

所以 ，

综上，的面积为定值.