【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆
:
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆
上的任意一点,射线
与椭圆
交于点
,过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,直线
与椭圆
交于
,
两个相异点,证明:
面积为定值.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程,根据得到的式子求出.
(2)当直线斜率不存在时,易得
的面积,当直线
斜率存在时,设为
,与椭圆
相切,得到
和
的关系,再由直线
和椭圆联立方程组,得到
、
,
利用弦长公式表示出,再得到
和
的关系,由
到
的距离,得到
到
的距离,从而计算出
的面积.得到结论为定值.
(1)解:因为的离心率为
,
所以,
解得.①
将点代入
,整理得
.②
联立①②,得,
,
故椭圆的标准方程为
.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
点为
或
,由对称性不妨取
,
由(1)知椭圆的方程为
,所以有
.
将代入椭圆
的方程得
,
所以
.
②当直线的斜率存在时,设其方程为
,
将代入椭圆
的方程
得,
由题意得,
整理得.
将代入椭圆
的方程,
得.
设,
,
则,
,
所以
.
设,
,
,则可得
,
.
因为,所以
,
解得(
舍去),
所以,从而
.
又因为点到直线
的距离为
,
所以点到直线
的距离为
,
所以
,
综上,的面积为定值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
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【题目】给出下列命题:
(1)直线与线段
相交,其中
,
,则
的取值范围是
;
(2)点关于直线
的对称点为
,则
的坐标为
;
(3)圆上恰有
个点到直线
的距离为
;
(4)直线与抛物线
交于
,
两点,则以
为直径的圆恰好与直线
相切.
其中正确的命题有_________.(把所有正确的命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过右焦点
作直线
交椭圆
于
,
两点,
的周长为
,点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线、
的斜率
,
,请问
是否为定值?若是定值,求出其定值;若不是,说明理由.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表:
组号 | 分组 | 频率 |
第1组 | ||
第2组 | ||
第3组 | ||
第4组 | ||
第5组 |
求出频率分布表中
处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数
结果都保留两位小数
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.;
方程
的曲线是椭圆
B.;
对
不等式
恒成立
C.设是首项为正数的等比数列,
公比小于0;
对任意的正整数n,
D.已知空间向量,
,
;
向量a与b的夹角是
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