Question

已知：如图，圆O两弦AB与CD交于E，EF∥AD，EF与CB延长线交于F，FG切圆O于G．
（Ⅰ）求证：△BEF∽△CEF；
（Ⅱ）求证：FG=EF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由EF∥AD，∠BEF=∠DAB=∠ECF，又∠EFB=∠CFE，由此能证明△BEF∽△CEF．
（2）由△BEF∽△CEF，得EF²=CF×BF，由切割线定理得FG²=FB×FC，由此能证明EF=FG．

解答： 证明：（1）∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠DAB=∠ECF，
∵∠EFB=∠CFE，
∴△BEF∽△CEF．
（2）∵△BEF∽△CEF，
∴

EF

CF

=

BF

EF

，
∴EF²=CF×BF，
∵FG切圆于G，
∴FG²=FB×FC，
∴EF²=FG²，即，EF=FG．

点评：本题考查三角形相似的证明，考查线段长相等的证明，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．