Question

19．现有数字1，2，3，4，5
（1）能组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）如果从（1）中的所得的五位数中任取一个，那么所得数字恰能被5整除的概率是多少？
（3）如果将（1）中的所得的五位数按从小到大排列
①现从中任取5个数，取后放回，求所得的5个数中能被5整除的数字的个数X的概率分布及数学期望
②“43215”是第几个数？

Answer 1

分析 （1）利用排列数公式能求出数字1，2，3，4，5能组成多少个没有重复数字的五位数．
（2）先求出数字1，2，3，4，5能组成没有重复数字的五位数的个数，再求出其中能被5整除的数字的个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出所得的五位数中任取一个，那么所得数字恰能被5整除的概率．
（3）①将（1）中的所得的五位数按从小到大排列，现从中任取5个数，取后放回，所得的5个数中能被5整除的数字的个数X～B（5，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和数学期望．
②所得的五位数按从小到大排列，先求出万位数字是1或3的个数，再求出万位数字是4，千位数字是2的个数，再求出万位数字是4，千位数字是3，百位数字是1的个数，再求出万位数字是4，千位数字是3，百位数字是2且不大于43215的个数，由此能求出“43215”是第几个数．

解答 解：（1）数字1，2，3，4，5能组成：${A}_{5}^{5}$=120没有重复数字的五位数．
（2）数字1，2，3，4，5能组成${A}_{5}^{5}$=120没有重复数字的五位数，
其中能被5整除的有：${A}_{1}^{1}{A}_{4}^{4}$=24个，
∴从（1）中的所得的五位数中任取一个，那么所得数字恰能被5整除的概率：
p=$\frac{24}{120}$=$\frac{1}{5}$．
（3）①将（1）中的所得的五位数按从小到大排列，现从中任取5个数，取后放回，
所得的5个数中能被5整除的数字的个数X～B（5，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{4}{5}）^{5}$=$\frac{1024}{3125}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}$$（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{4}$=$\frac{1280}{3125}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{640}{3125}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{160}{3125}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{5}）^{4}（\frac{4}{5}）$=$\frac{20}{3125}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{5}）^{5}$=$\frac{1}{3125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1024}{3125}$	$\frac{1280}{3125}$	$\frac{640}{3125}$	$\frac{160}{3125}$	$\frac{20}{3125}$	$\frac{1}{3125}$

EX=$0×\frac{1024}{3125}+1×\frac{1280}{3125}$+$2×\frac{640}{3125}+3×\frac{160}{3125}+4×\frac{20}{3125}+5×\frac{1}{3125}$=1．
②所得的五位数按从小到大排列，万位数字是1或3的有：${A}_{3}^{1}{A}_{4}^{4}$=72个，
万位数字是4，千位数字是2的有：${A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{3}$=6个，
万位数字是4，千位数字是3，百位数字是1的有：${A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$=2个，
万位数字是4，千位数字是3，百位数字是2且不大于43215的只有：43215这1个，
∴“43215”是第72+6+2+1=81个数．

点评 本题考查排列数公式的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．