Question

已知α=

∫

1 0

（

1-x2

+πx）dx，则（x-

tanα

x2

）⁶的二项展开式的常数项是

 

（用数字作答）

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：先根据定积分的计算求出a，再利用展开式的通项求出k，问题得以解决．

解答： 解：α=

∫

1 0

（

1-x2

+πx）dx=

∫

1 0

（

1-x2

dx+

∫

1 0

πxdx=

1

4

π+

1

2

π=

3

4

π．
∴（x-

tanα

x2

）⁶的展开式的通项是T_k+1=（-tan

3

4

π）^k

C

k 6

•x6-3k，
∵6-3k=0，
解得k=2，
∴二项展开式的常数项是

C

2 6

=15．
故答案为：15．

点评：本题主要考查了定积分的计算以及二项式的展开式，属于基础题．