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【题目】已知λμ为常数,且为正整数,λ≠1,无穷数列{an}的各项均为正整数,其前n项和为Sn,对任意的正整数nSn=λanμ.记数列{an}中任意两不同项的和构成的集合为A

1)证明:无穷数列{an}为等比数列,并求λ的值;

2)若2015∈A,求μ的值;

3)对任意的n∈N*,记集合Bn={x|3μ2n1x3μ2nx∈A}中元素的个数为bn,求数列{bn}的通项公式.

【答案】1)见解析;

231403

3bn=nn∈N*

【解析】

1)证明:∵Sn=λanμ.当n≥2时,Sn1=λan1μ

∴an=λanλan1λ≠1

数列{an}为等比数列,

各项均为正整数,则公比=为正整数,λ为正整数,

∴λ=2

2)解:由(1)可得:Sn=2anμ,当n=1时,a1,则an=μ2n1

∴A={μ2i1+2j1|1≤ijij∈N*}

∵2015∈A∴2015=μ2i1+2j1=μ2i11+2ji=5×13×31

∵ji0,则1+2ji必为不小于3的奇数,

∵2i1为偶数时,上式不成立,因此必有2i1=1∴i=1

∴μ1+2j1=5×13×31

只有j=3μ=403j=7μ=31时,上式才成立,

∴μ=31403

3)解:当n≥1时,集合Bn={x|3μ2n1x3μ2nx∈A}

3μ2n1μ2i1+2j1)<3μ2n1≤ijij∈N*Bn中元素个数,

等价于满足3×2n2i+2j3×2n+1的不同解(ij),

jn+2,则2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+13×2n+1,矛盾.

jn+2,则2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n,矛盾.

∴j=n+2,又21+2n+2)﹣3×2n=2+4×2n3×2n=2+2n0

∴3×2n21+2n+222+2n+22n+1+2n+2=3×2n+1

i=12n时,共有n个不同的解(ij),即共有n个不同的x∈Bn

∴bn=nn∈N*).

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