Question

12．已知数列{a_n}，{b_n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a_n²+b_na_n-1²=2n+1．
（1）若b_n=（-1）ⁿ，求$\sum_{i=1}^{18}{a_i^2}$的值；
（2）若数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=2，b_n=-1．设S_n=$\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n{{2^{a_i}}}$，T_n=$\sqrt{{a_1}{a_2}…{a_n}}$，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系时，即可得到a₂²+a₁²=5，a₄²+a₃²=9，a₆²+a₅²=13，…a₁₈²+a₁₇²=37，累加即可，
（2）根据数列的递推关系求出a_n=n+1，n∈N，再分别表示出S_n与T_n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c_n=$\frac{{{T}_{n}}^{2}}{{{S}_{n}}^{2}}$，利用换元法和作差法得到数列{c_n}为递增数列，问题得以解决．

解答 解：（1）由题意可得a₂²+a₁²=5，a₄²+a₃²=9，a₆²+a₅²=13，…a₁₈²+a₁₇²=37，
将上面的式子相加得到$\sum_{i=1}^{18}{a_i^2}$=5+9+13+…+37=189，
（2）∵a_n²+b_na_n-1²=2n+1，a₁=2，b_n=-1
∴a_n²-a_n-1²=2n+1，n≥2，
∴a₂²-a₁²=5，a₃²-a₂²=7，a₄²-a₃²=9，a_n²-a_n-1²=2n+1，
将上面的式子相加得到a_n²-a₁²=$\frac{（2n+1+5）（n-1）}{2}$，
∴a_n²=（n+1）²，n≥2，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n=n+1，
当n=1时，也成立，
∴a_n=n+1，n∈N^*，
∴S_n=$\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n{{2^{a_i}}}$=2ⁿ-1，T_n=$\sqrt{{a_1}{a_2}…{a_n}}$=$\sqrt{2×3×4×…×（n+1）}$，
下面比较S_n与T_n的大小，
取n=1，2，3，4，5，6，
∴S₁²＜T₁²，S₂²＞T₂²，S₃²＞T₃²，S₄²＞T₄²，S₅²＞T₅²，S₆²＜T₆²，
当n≥6时，令c_n=$\frac{{{T}_{n}}^{2}}{{{S}_{n}}^{2}}$，
则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{（n+2）（{2}^{n}-1）^{2}}{（{2}^{n+1}-1）^{2}}$
设2ⁿ=t≥64，
则（n+2）（2ⁿ-1）²-（2ⁿ⁺¹-1）²=8（t-1）²-（2t-1）²=4t²-12t+7＞0
∴当n≥6时，数列{c_n}为递增数列，
∴c_n≥c₆=$\frac{{T}_{6}^{2}}{{S}_{6}^{2}}$＞1，
∴n≥6时，S_n²＜T_n²，
综上所述：当n=2，3，4，5时，S_n＞T_n，当n=1，n≥6时，S_n＜T_n．

点评 本题考查了数列的递推关系和数列的通项公式的求法，以及数列的函数特征，考查了运算能力，化归能力，属于中档题．