Question

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式恒为正，转化为参数恒成立，根据指数函数的性质和基本不等式的解法即可求k的取值范围．

解答： 解：由f（x）=3^2x-（k+1）3^x+2＞0得3^2x+2＞（k+1）3^x，
即

32x+2

3x

=3x+

2

3x

＞k+1恒成立，
∵3x+

2

3x

≥2

3x• 2 3x

=2

2

，当且仅当3^x=

2

3x

，即3x=

2

，取等号，
∴3^x+

2

3x

的最小值为2

2

，
∴k+1＜2

2

，
即k＜2

2

-1，
故答案为：（-∞，2

2

-1）

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键，注意要利用基本不等式和指数函数的性质．