Question

给出下列四个命题：
①“M＞N”是“log₂M＞log₂N”的充要条件；
②已知A、B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值为2，则双曲线的离心率e=

2

；
③取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是

1

3

；
④一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是椭圆．
其中真命题的序号是

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①通过举反例判定命题不成立；
②根据题意，求出|k₁|+|k₂|的最小值为2时，a、b的关系，从而求出双曲线的离心率e；
③画出图形，求出剪得两段的长都不小于1m的概率P；
④画出图形，根据题意，求出点P满足的关系式，结合椭圆的定义，得出P点的轨迹．

解答： 解：①当0＞M＞N时，log₂M、log₂N无意义，当log₂M＞log₂N时，M＞N，应是必要不充分条件，∴命题错误；
②根据题意，设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则N（m，-n）；
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴n²=

(m2-a2)b2

a2

；
∴k₁=

n

m+a

，k₂=

-n

m-a

，
∴|

n

m+a

|+|

-n

m-a

|≥2

n2 m2-a2

=2•

b

a

=2，
∴b=a，
∴双曲线的离心率e=

2

；命题正确；
③如图所示，；
在中间的1m处剪开，剪得两段的长都不小于1m，概率是P=

3-1-1

3

=

1

3

，∴命题正确；
④如图所示，由题意知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|=|FP|，
∴|FP|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），
又显然|MO|＞|FO|，
∴根据椭圆的定义知点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆；∴命题正确；
以上正确的命题有3个，是②③④；
故答案为：②③④．

点评：本题考查了充要条件、双曲线、概率以及椭圆的有关问题，是综合题目．