Question

给出下列命题：
①定义在[a，b]上的偶函数以f（x）=x²+（a+5）x+b最小值为5；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则函数f（x+1）的图象关于点A（1，0）对称；
④已知

2

2-4

+

6

6-4

=2，

5

5-4

+

3

3-4

=2，

7

7-4

+

1

1-4

=2，

10

10-4

+

-2

-2-4

=2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为

n

n-4

+

8-n

(8-n)-4

=2，(n≠4)其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①利用偶函数的定义域关于原点对称和定义f（-x）=f（x）即可得出；
②利用对数的换底公式和对数函数的单调性及其不等式的性质即可得出；
③利用奇函数的性质和平移变换即可得出；
④观察已知等式得到规律：左边两个分数的分子之和为8，分母分别为分子减去4，右边都是2．据此可得到一般性的等式．

解答： 解：①定义在[a，b]上的偶函数f（x）=x²+（a+5）x+b，
∴

a+b=0 f(-x)=f(x)

，即

a+b=0 a+5=0

，解得a=-b=-5．
∴f（x）=x²+5≥5，当且仅当x=0时取等号．
∴f（x）的最小值为5；
因此①正确．
②若log_m3＜log_n3＜0，则

lg3

lgm

＜

lg3

lgn

＜0，∴lgn＜lgm＜0，解得0＜n＜m＜1；因此②正确．
③若函数f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，
而函数f（x+1）的图象是由函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的，
因此函数f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称；
因此③不正确．
④由

2

2-4

+

6

6-4

=2，

5

5-4

+

3

3-4

=2，

7

7-4

+

1

1-4

=2，

10

10-4

+

-2

-2-4

=2，
得到以上各式的规律：左边两个分数的分子之和为8，分母分别为分子减去4，右边都是2．
据此得到一般性的等式为

n

n-4

+

8-n

(8-n)-4

=2，(n≠4)．
综上可知：其中正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了偶函数的性质、对数的换底公式和对数函数的单调性、其不等式的性质、奇函数的性质和平移变换等基础知识与基本技能方法，考查了观察分析问题的能力，属于中档题．