Question

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是

 

．
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．

Answer 1

考点：平面与平面之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A₁DE，可得④正确；由余弦定理可得MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得①②正确．A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．

解答： 解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，∴MB∥平面A₁DE，故④正确
由∠A₁DE=∠MNB，MN=

1

2

A₁D=定值，NB=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故①正确．
∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故②正确，
∵A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，
∴存在某个位置，使DE⊥A₁C不正确，故③不正确．
故答案为：①②④．

点评：掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．