Question

16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b=$\sqrt{3}$asinB+bcosA，c=4．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D是BC的中点，AD=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得2=$\sqrt{3}$sinA+cosA，利用两角和的正弦函数公式可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，结合A的范围，利用正弦函数的图象可求A的值．
（Ⅱ）设BD=CD=x，则BC=2x，由余弦定理可求4x²=b²-4b+16，又由cos∠ADB+cos∠ADC=0，利用余弦定理可得2x²=b²+2，联立可得b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2b=$\sqrt{3}$asinB+bcosA，可得：2sinB=$\sqrt{3}$sinAsinB+sinBcosA，
∴由于sinB≠0，可得：2=$\sqrt{3}$sinA+cosA，…2分
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，…4分
∵A∈（0，π），可得：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）设BD=CD=x，则BC=2x，
由于cosA=$\frac{{b}^{2}+16-（2x）^{2}}{8b}$=$\frac{1}{2}$，可得：4x²=b²-4b+16，①…7分
∵∠ADB=180°-∠ADC，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，…8分
∵$\frac{7+{x}^{2}-16}{2\sqrt{7}x}$+$\frac{7+{x}^{2}-{b}^{2}}{2\sqrt{7}x}$=0，可得：2x²=b²+2，②…9分
∴联立①②可得：b²+4b-12=0，解得：b=2…11分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．