设定义在区间[x1. x2]上的函数y=f(x)的图象为C.M是C上的任意一点.O为坐标原点.设向量=..=(x.y).当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时.记向量=λ+(1-λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x1.x2]上可在标准k下线性近似是指“k恒成立 .其中k是一个确定的正数． (1)设函数 f(x)=x2在区间[0.1]上可在标准k下线性近似.求k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设定义在区间[x₁， x₂]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x₁+(1－λ) x₂时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．

（1）设函数 f(x)=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线，又由x=λ x₁+(1－λ) x₂与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

则有，故；所以k的取值范围是．

（2）对于上的函数，

A()，B()，则直线AB的方程，令，其中，于是，列表如下：

x	e^m	(e^m，e^m⁺¹－e^m)	e^m⁺¹－e^m	(e^m⁺¹－e^m，e^m⁺¹)	e^m⁺¹
		+	0	－
	0	增		减	0[

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