Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，且a₁=1.

(1)求数列{ a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)设S_n是数列{a_n}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证法1：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴                                       

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故数列

是首项为，公比为－1的等比数列.                

证法2：∵a_n，a_n+1是关于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的两根，

∴                                   

∵，

故数列是首项为，公比为－1的等比数列.             

  

(2)解：由(1)得，即，

∴

                          

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                 

要使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，

即对任意n∈N*都成立.

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.       

①当n为正奇数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1.      

②当n为正偶数时，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴对任意正偶数n都成立.

当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5.      

综上所述，存在常数λ，使得b_n－λS_n>0对任意n∈N^*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).