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如图,在四边形中,,点为线段上的一点.现将沿线段翻折到(点与点重合),使得平面平面,连接.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)若,且点为线段的中点,求二面角的大小.

(Ⅰ)连接交于点,在四边形中,
证得,推出,从而,得到平面
(Ⅱ)二面角的大小为.

解析试题分析:(Ⅰ)连接交于点,在四边形中,

,∴,

又∵平面平面,且平面平面=
平面      ……… 6分
(Ⅱ)如图,以为原点,直线分别为轴,轴,平面内过且垂直于直线的直线为轴建立空间直角坐标系,可设点
,且由
,解得,∴      8分
则有,设平面的法向量为
,即,故可取            10分
又易取得平面的法向量为,并设二面角的大小为
,∴ 
∴二面角的大小为.     12分
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中,往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答,通过建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,简化了繁琐的证明过程,实现了“以算代证”,对计算能力要求较高。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,平面分别为的中点.

(I)证明:平面
(II)求与平面所成角的正弦值.

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(理科)(本小题满分12分)如图分别是正三棱台ABC-A1B1C1的直观图和正视图,O,O1分别是上下底面的中心,E是BC中点.

(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦;
(3)若P是棱A1C1上一点,求CP+PB1的最小值.

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如图,底面△为正三角形的直三棱柱中,的中点,点在平面内,

(Ⅰ)求证:;  
(Ⅱ)求证:∥平面
(Ⅲ)求二面角的大小.

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本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.
如图,已知正四棱柱的底面边长是,体积是分别是棱的中点.

(1)求直线与平面所成的角(结果用反三角函数表示);
(2)求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积.

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如图,四边形均为菱形,,且.

(1)求证:
(2)求证:
(3)求二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱垂直底边ABCD四棱柱,
E是侧棱AA1的中点,求

(1)求异面直线与B1E所成角的大小;
(2)求四面体的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二,在二面角中.

(1)求证:BD⊥AC;
(2)求D、C之间的距离;
(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。

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(本小题13分)如图1,在三棱锥PABC中,平面ABCD为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。

(1)证明:平面PBC
(2)求三棱锥DABC的体积;
(3)在的平分线上确定一点Q,使得平面ABD,并求此时PQ的长。

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