Question

【题目】已知椭圆：的离心率，右顶点为.

（1）求的方程；

（2）直线与曲线交于不同的两点，，若在轴上存在一点，使得，求点的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据离心率的定义和椭圆中的关系即可求得的值；（2）若在轴上存在一点，使得即在的垂直平分线上，整理直线与曲线的方程，求出弦的中点坐标，根据，斜率之积为即可求得的横坐标与参数的关系，利用均值不等式即可求得的横坐标的取值范围.

试题解析：（1）由题意可知：，，，

联立解得，，.

所求椭圆的方程为：.

（2）将直线的方程与椭圆的方程联立：，

化简整理可得：，

设，.

则，.

设线段中点的坐标为.

则，.

设轴上点坐标为，使得，

依题意可得：.

①当时，直线平行于轴，易知：此时点与坐标原点重合，其坐标为（0,0）；

②当时，有，

，

从而，

而，或，

故或.

综上所述：实数的取值范围是.

即点的横坐标的取值范围是.