Question

6．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC-c=2a，a=3，且AC边上的中线长为$\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，则c=5．

Answer 1

分析 由夹角公式和题意可得：b²=a²+c²+ac=c²+3c+9，取AC中点D，连接BD，由余弦定理可求cosC=$\frac{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{19}{4}}{ab}$，整理可得9+b²-c²=2（9+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{19}{4}$），
联立即可解得c的值．

解答 解：∵2bcosC-c=2a，
∴cosC=$\frac{2a+c}{2b}$，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{2a+c}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴b²=a²+c²+ac=c²+3c+9，①
取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{19}{4}}{ab}$
∴9+b²-c²=2（9+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{19}{4}$），②
把①代入②，化简可得：c²-3c-10=0，
解得：c=5或c=-2（舍去），
可得：c=5

点评 本题主要考查了余弦定理，考查了运算求解能力，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，属于中档题．