Question

2．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，由f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．

解答 解：构造函数：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{f（0）-1}{{e}^{0}}$=-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函数g（x）在R单调递减，
由f（x）+e^x＜1化为：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$＜-1=g（0），
∴x＞0．
∴使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．
故选：D．

点评 本题主要考查导数与函数的单调性关系，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．