Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且

（1）求证：；

（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见解析

【解析】

（1）由题意，证得，再由线面垂直的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面PEC，进而得到．

（2）由（1）建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，由与共线，得，再求得平面CPD和平面CPD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

证明：（1）∵，，

∴，，

E为AD的中点，，

≌，，

，

，

，平面ABCD，平面ABCD，，

又，且PH，平面PEC，平面PEC，

又平面PEC，．

解：(2)由(1)可知∽，

由题意得，，

，，，，，

、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，

，，，，，

假设线段PC上存在一点F满足题意，

与共线，

∴存在唯一实数，，满足，解得，

设向量为平面CPD的一个法向量，

且，，

∴，取，得，

同理得平面CPD的一个法向量，

∵二面角的余弦值是，

∴，

由，解得