Question

15．已知函数f（x）=（x-2）e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值．

解答 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=（x-1）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．
则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（-∞，1）；
（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，
即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，且为f（1）=-e，
由f（0）=-2，f（2）=0，
可得f（x）的最大值为f（2）=0．
则f（x）的最小值为-e，最大值为0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．