Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+2x（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）是减函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由题意，原方程的根饿问题等价于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在(

1

e

，e)内的零点问题，再利用导数，和零点的存在定理，求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得h(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，则h′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，
∵函数 h（x）是减函数，
∴h′（x）≤0恒成立，
∴ax²+2x-1≤0恒成立，
得 

a＜0 △=4+4a≤0

解得 a≤-1，
即a的取值范围是 （-∞，-1]，
（Ⅱ）方程 

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，

lnx

x

=ax+(1-2a)，等价于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
设 H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
于是原方程在区间(

1

e

，e)内根的问题，转化为函数H（x）在(

1

e

，e)内的零点问题．
H′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
当 x∈（0，1）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数，
当 x∈（1，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数，
若 H(x)在(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的零点，只须

H( 1 e )= a e2 + 1-2a e +1= (1-2e)a+e2+e e2 ＞0 Hmin(x)=H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 H(e)=ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

即a的取值范围是 (1，

e2+e

2e-1

)．

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，以及零点的存在定理的应用，属于中档题．