Question

12．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+3a-4，（x≤0）}\\{{a}^{x}，（x＞0）}\end{array}\right.$满足对任意实数x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{5}{3}]$
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． $[\frac{5}{3}，2）$

Answer 1

分析 由题意可得（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，可得f（x）在R上为增函数，运用单调性的定义可得a-1＞0，（a-1）•0+3a-4≤a⁰，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），可得
（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，
由题意可得f（x）在R上为增函数，
当x≤0时，f（x）递增，即有a-1＞0，解得a＞1；
当x＞0时，f（x）递增，可得a＞1；
又f（x）为R上的增函数，可得（a-1）•0+3a-4≤a⁰，
解得a≤$\frac{5}{3}$．
综上可得，a的范围是1＜a≤$\frac{5}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．