Question

8．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的边长为a．
（1）求$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AA′}$；
（2）求$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{A′C′}$；
（3）求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AC′}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥AA′，
∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AA′}$=0．
（2）∵AC∥A′C′，
∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{A′C′}$=$|\overrightarrow{AC}|$•|$\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$|•cos0=$\sqrt{2}a•\sqrt{2}a$=2a²．
（3）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AC′}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{A{C}^{'}}$|cos∠C′AC
=$\sqrt{2}a•\sqrt{3}a$•$\frac{2{a}^{2}+3{a}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{2}a•\sqrt{3}a}$=2．

点评 本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．