Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若a²+b²-c²=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$S．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，利用面积公式表示出S，整理后代入已知等式求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）由已知面积S，求出ab的值，将c，S的值代入已知等式，利用完全平方公式变形后把ab的值代入求出a+b的值即可．

解答 解：（1）∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即a²+b²-c²=2abcosC，S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴已知等式变形得：2abcosC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$absinC，
整理得：tanC=$\sqrt{3}$，
则C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=$\sqrt{3}$，S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即ab=2，
∴a²+b²-3=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²+b²=5，
∴（a+b）²-2ab=5，即（a+b）²=9，
则a+b=3．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．