Question

6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AB=BC=\sqrt{5}，AC=2$且点A₁在底面ABC上的射影O恰是线段AC的中点，$A{A_1}=\sqrt{5}$．
（1）判断A₁B与B₁C是否垂直，并证明你的结论；
（2）求点A₁到平面BCC₁B₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连结OB，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B⊥B₁C．
（2）求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$和设平面BCC₁B₁的法向量，利用向量法能求出点A₁到平面BCC₁B₁的距离．

解答 解：（1）A₁B与B₁C垂直．
证明如下：
连结OB，∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AB=BC=\sqrt{5}，AC=2$且点A₁在底面ABC上的射影O恰是线段AC的中点，$A{A_1}=\sqrt{5}$，
∴A₁O⊥平面ABC，OB⊥AC，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，1，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=-4+0+4=0，
∴A₁B⊥B₁C．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，2），
设平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴点A₁到平面BCC₁B₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线是否垂直的判断证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．