Question

14．在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（7，0），其倾斜角为α，以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围：
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求$2x+\frac{3}{2}y$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ²-6ρcosθ+5=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t²+8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．
（2）曲线C的方程x²+y²-6x+5=0可化为（x-3）²+y²=4，其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得2x+$\frac{3}{2}$y=6+4cosθ+3sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．

解答 解：（1）将曲线C的极坐标方程ρ²-6ρcosθ+5=0化为直角坐标方程为x²+y²-6x+5=0，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
将参数方程代入x²+y²-6x+5=0，整理得t²+8tcosα+12=0，
∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos²α-48≥0，
∴cosα≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或cosα$≤-\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵α∈[0，π），
∴α的取值范围是$[0，\frac{π}{6}]$∪$[\frac{5π}{6}，π）$．
（2）曲线C的方程x²+y²-6x+5=0可化为（x-3）²+y²=4，
其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∵M（x，y）为曲线上任意一点，
∴$2x+\frac{3}{2}y=6+4cosθ+3sinθ=6+5sin（{θ+φ}）（sinφ=\frac{4}{5}，cosφ=\frac{3}{5}）$，
∴$2x+\frac{3}{2}y$的取值范围是[1，11]．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．