Question

1．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，$g（x）=sin（\frac{πx}{3}）$．
（1）求证：g（x）∈A；
（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；
（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f（x+3）=-f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；
（3）以f（x）=cos（$\frac{πx}{3}$）为例即可得出结论．

解答 解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（$\frac{πx}{3}$）+sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{2π}{3}$）
=sin（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）
=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）=sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π（x+1）}{3}$）=g（x+1），
∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），
∴g（x）∈A．
（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：
∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），
∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）-f（x）=f（x+2），
∴f（x+3）=-f（x），∴f（x-3+3）=-f（x-3），即f（x）=-f（x-3），
∴f（x+3）=f（x-3），即f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数．
（3）A中的元素不一定是奇函数，
令$f（x）=cos（\frac{π}{3}x）$，则f（x）+f（x+2）=cos（$\frac{πx}{3}$）+cos（$\frac{πx}{3}$+$\frac{2π}{3}$）
=cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）
=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）=cos（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）=f（x+1）．
∴f（x）=cos（$\frac{π}{3}$x）∈A，
而f（x）=cos（$\frac{π}{3}$x）是偶函数，
故A中的元素不一定是奇函数．

点评 本题考查了三角恒等变换，函数周期的判断，属于中档题．