Question

13．已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1．
（1）求角A；  
（2）若$\frac{1+sin2B}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=2，求tanC．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积可得：cosA+$\sqrt{3}$sinA=1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．
（2）利用倍角公式和同角的三角函数的关系求出tanB，再根据诱导公式和两角和的正切公式即可求出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，
∴cosA+$\sqrt{3}$sinA=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
（2）∵$\frac{1+sin2B}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=2，
∴$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{（cosB+sinB）（cosB-sinB）}$=$\frac{sinB+cosB}{cosB-sinB}$=$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=2，
∴1+tanB=2-2tanB，
∴tanB=$\frac{1}{3}$，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{-\sqrt{3}+\frac{1}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{{5\sqrt{3}-6}}{3}$

点评 本题考查了向量数量积、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．