Question

设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．

（1）证明函数是定义域上的函数；

（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；

（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）不是函数；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用题中所给定义进行证明是定义域上的函数；（2）举反例，说明不是定义域上的函数；（3）利用题意进行证明.

试题解析：（1）证明如下：

对任意实数及，

有 2分

， 4分

即， 5分

∴是函数； 6分

（2）不是函数， 7分

说明如下（举反例）：

取，，，

则

，

即，

∴不是函数； 10分

（3）假设是上的函数， 11分

若存在且，使得。

（i）若，

记，，，则，且，

那么

，

这与矛盾； 13分

（ii）若，

记，，，同理也可得到矛盾； 14分

∴在上是常数函数， 15分

又因为是周期为的函数，

所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾. 16分

所以不是上的函数.

考点：1.新定义型题目；2.不等式恒成立.

考点分析： 考点1：函数的表示法 考点2：函数的周期性 考点3：函数图像的对称性 试题属性

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