Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣2|﹣3，g（x）=|x+3|
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若不等式f（x）＜g（x）+a对任意x∈R恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）＜g（x）可化为|x﹣2|﹣|x+3|＜3，

当x≤﹣3时，不等式可化为：2﹣x+（x+3）＜3，无解；

当﹣3＜x＜2时，不等式可化为：2﹣x﹣（x+3）＜3，解得﹣2＜x＜2；

当x≥2时，不等式可化为：x﹣2﹣（x+3）＜3，解得x≥2；

综上，不等式的解集为{x|x＞﹣2}

（2）解：不等式等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，

由于|x﹣2|﹣|x+3|≤|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当x≤﹣3时等号成立．

故a+3＞5，即a＞2

【解析】（1）不等式f（x）＜g（x），即|x﹣2|﹣|x+3|＜3，分类讨论，求得不等式的解集．（2）不等式等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，利用绝对值三角不等式求得|x﹣2|﹣|x+3|的最大值为5，可得a+3＞5，从而求得a的范围．