Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，C=60°，c=4$\sqrt{3}$．
（1）若△ABC的面积为8$\sqrt{3}$，求a+b的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得48=（a+b）²-3ab，利用三角形面积公式可求ab=32，联立即可解得a+b的值．
（2）由正弦定理，得a=8sinA，b=8sin B．又A+B=$\frac{2π}{3}$，利用三角形恒等变换的应用可求a+b=8$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．可求范围A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．由A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 解：（1）∵C=60°，c=4$\sqrt{3}$．
∴由余弦定理可得：48=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，①
∵△ABC的面积为8$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ab，
∴解得：ab=32，②
∴联立①②，可得：a+b=12．
（2）由正弦定理，得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{sin60°}$=8，
由a=8sin A，b=8sin B．又A+B=$\frac{2π}{3}$，
则a+b=8sin A+8sin（$\frac{2π}{3}$-A）=8sin A+8（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=12sin A+4$\sqrt{3}$cosA=8$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
因为△ABC为锐角三角形，
则A∈（0，$\frac{π}{2}$），且B=$\frac{2π}{3}$-A∈（0，$\frac{π}{2}$），得A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．
所以A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故a+b的取值范围是（12，8$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角形恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．