Question

20．已知椭圆C的焦点与双曲线$\frac{y^2}{3}$-x²=1的顶点重合，椭圆C的长轴长为4．
（1）求双曲线的实轴，虚轴长及渐近线方程．
（2）求椭圆C的标准方程；
（3）若已知直线y=x+m．当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？

Answer 1

分析 （1）由双曲线$\frac{y^2}{3}$-x²=1，能求出双曲线的实轴，虚轴长及渐近线方程．
（2）求出椭圆C的焦点坐标为F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），a′=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（3）把直线y=x+m代入椭圆方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得到5x²+2mx+m²-4=0，由直线与椭圆有C公共点，利用根的判别式能求出结果．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{y^2}{3}$-x²=1，
∴$a=\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴双曲线的实轴长2a=2$\sqrt{3}$，虚轴长2b=2，
由$\frac{y^2}{3}$-x²=0，得双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{3}x$．
（2）∵椭圆C的焦点与双曲线$\frac{y^2}{3}$-x²=1的顶点重合，椭圆C的长轴长为4，
∴椭圆C的焦点坐标为F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），a′=2，
∴b′=$\sqrt{4-3}$=1，
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（3）把直线y=x+m代入椭圆方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得4x²+（x+m）²=4，即5x²+2mx+m²-4=0，
∵直线与椭圆有C公共点，
∴△=（2m）²-4×5×（m²-4）=-16m²+80≥0，
解得$-\sqrt{5}≤m≤\sqrt{5}$．
∴-$\sqrt{5}≤m≤\sqrt{5}$时，直线与椭圆有C公共点．

点评 本题考查双曲线的实轴，虚轴长及渐近线方程、椭圆C的标准方程的求出，考查满足直线与椭圆公共点的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．