Question

已知圆C₁：x²+y²=r²截直线x+y-

2

2

=0所得的弦长为

3

，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点在圆C₁上．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）过点A（-1，0）的直线l与抛物线C₂交于B，C两点，又分别过B，C两点作抛物线C₂的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，圆心到直线x+y-

2

2

=0的距离d=

|0+0- 2 2 |

2

=

1

2

；结合弦长求半径，从而得到焦点的坐标，从而写出抛物线C₂的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x+1），设B（m，

m2

4

），C（n，

n2

4

）；与x²=4y联立方程化简得到x²-4kx-4k=0；从而利用韦达定理得到m+n=4k；m•n=-4k；再由两条切线互相垂直及导数的几何意义可得k₁•k₂=

1

2

m•

1

2

n=-1；从而解出k，进而写出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意，圆心到直线x+y-

2

2

=0的距离d=

|0+0- 2 2 |

2

=

1

2

；
故r=

1 22 +( 3 2 )2

   =1；
故抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点为（0，1）；
故p=2；
故抛物线C₂的方程为x²=4y；
（2）设直线l的方程为y=k（x+1），设B（m，

m2

4

），C（n，

n2

4

）；
与x²=4y联立消y可得；
x²-4kx-4k=0；
则m+n=4k；m•n=-4k；
由y=

x2

4

求导得，
y′=

1

2

x；
则在B，C两点处的切线斜率分别为
k₁=

1

2

m，k₂=

1

2

n；
则由题意可得，k₁•k₂=

1

2

m•

1

2

n=-1；
故mn=-4=-4k；
故k=1；
则直线l的方程为y=x+1，
即x-y+1=0．

点评：本题考查了直线与圆，圆锥曲线的位置关系的应用，同时考查了学生的化简计算能力，属于难题．