Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别为，的中点.

（1）证明：；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取AC中点F，连接DF，EF，可得DF∥AB，结合AB⊥AC，得DF⊥AC，然后证明EF⊥平面ABC，可得EF⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面DEF，从而得到DE⊥AC；

（2）由（1）知，EF⊥平面ABC，EF=CC1＝1，结合D是BC的中点，求得三角形ABD的面积，然后由棱柱体积公式求解即可.

（1）取AC的中点F，连接DF，EF，因为D是BC的中点，所以DF∥AB，

因为AB⊥AC，所以DF⊥AC，

同理EF∥CC1，而CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，

又AC平面ABC，所以EF⊥AC，

又DF∩EF=F，所以AC⊥平面DEF，

因为DE平面DEF，所以DE⊥AC.

（2）由（1）知，EF⊥平面ABC，EF=CC1=1，

因为D是BC的中点，

所以S△ABD=S△ABC=×2×2=1，

所以VE-ABD=S△ABD·EF=×1×1=.