Question

设O为坐标原点，曲线x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足

(1)求m的值；

(2)求直线PQ的方程．

Answer 1

[解析]　(1)曲线方程为(x＋1)²＋(y－3)²＝9表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．

∵点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，

∴圆心(－1,3)在直线上，代入得m＝－1.

(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，

∴设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，PQ方程y＝－x＋b

将直线y＝－x＋b代入圆方程，得

2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0

Δ＝4(4－b)²－4×2×(b²－6b＋1)＞0，得

2－3＜b＜2＋3.

由韦达定理得

x₁＋x₂＝b－4①，x₁x₂＝②

即2x₁x₂－b(x₁＋x₂)＋b²＝0

将①②代入得：b²－6b＋1－b²＋4b＋b²＝0

解得b＝1，经验证知符合题意

∴PQ方程为y＝－x＋1.