Question

16．等差数列{a_n}首项和公差都是$\frac{2}{3}$，记{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，公比为q，记{b_n}的前n项和为T_n
（I）写出S_i（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
（Ⅱ）若将S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，求{c_n}的一个通项公式；
（Ⅲ）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得T_k，T_2k同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由等差数列的求和公式得到S_n．再把n=1，2，3，4，5分别代入即可求出集合A；
（Ⅱ）${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$=$\frac{2}{3}[n+\frac{n（n-1）}{2}]$=$\frac{n（n+1）}{3}$，S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，可得n=3k或n+1=3k（k∈Z）；
（Ⅲ）由于{b_n}的前n项和为T_n．故应分类讨论，然后利用T_k，T_2k同时为集合A中的元素进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}首项和公差都是$\frac{2}{3}$，
∴${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$=$\frac{2}{3}[n+\frac{n（n-1）}{2}]$=$\frac{n（n+1）}{3}$．
把n=1，2，3，4，5分别代入上式，得
A={$\frac{2}{3}$，2，4，$\frac{20}{3}$，10}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{3}$，
∵S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
故可求c_n=n（3n+1），或c_n=n（3n-1）；
（Ⅲ）当q=1时，T_k=kb₁，T_2k=2kb₁；
∴T_2k=2T_k；
∵T_k，T_2k同时为集合A中的元素，
∴T_k=2，T_2k=4，得kb₁=2，
∴b₁=$\frac{2}{k}$，
∴b_n=$\frac{2}{k}$；
当q≠1时，T_k=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}$，T_2k=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{2k}）}{1-q}$，$\frac{{T}_{2k}}{{T}_{k}}=1+{q}^{k}$，
∵q为正整数，正整数k大于1．
∴当T_k=$\frac{2}{3}$时，T_2k=$\frac{20}{3}$，得到q^k=9，此时q=3，k=2，
∴T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×4=$\frac{2}{3}$，得b₁=$\frac{1}{6}$，故${b}_{n}=\frac{1}{6}$×3^n-1=$\frac{1}{2}$×3^n-2；
当T_k=2时，T_2k=10，得到q^k=4，此时q=2，k=2，
∴T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×3=2，得b₁=$\frac{2}{3}$，b_n=$\frac{2}{3}$×2^n-1=$\frac{1}{3}$×2ⁿ；
当T_k=4，${T}_{k}=\frac{20}{3}$，T_k=10时，找不到满足条件的{b_n}．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查等差数列、等比数列的求和公式，考查逻辑思维能力和转化能力，难度较大．