Question

20．已知点M（x，y）满足条件$\left\{\begin{array}{l}{\underset{x-y+2≥0}{x+y-4≥0}}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，点N（x，y）满足x²+y²-10y+23≤0，则|MN|的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分别作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：由x²+y²-10y+23≤0得x²+（y-5）²≤2，对应的图象以D（0，5）为圆心，半径r=$\sqrt{2}$的圆及其内部，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则圆心D到直线x-y+2=0的距离d=$\frac{|0-5+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此时|MN|的最小值d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用数形结合是解决本题的关键．